Galois properties of rings of integers in characteristic p
Propriétés galoisiennes des anneaux d'entiers en caractéristique p
Résumé
This thesis presents three main results, all in non-zero characteristic.
In the first part, we consider a normal, integral, noetherian ring R of nonzero characteristic with fraction field K. I then denotes an eigenideal of R, Ka an algebraic closure of K, and G the Galois group of the Ka/K extension. Consider Ra the completion for the I-adic topology of the ring of integer Ka elements over R. We show that the set of fixed points of Ra under the action of G is the complement of a radicial closure of R contained in Ra.
In the second and third parts, we consider a local field K of non-zero characteristic, ring of integers R and perfect residual field k. Call Ks a separable closure of K, Rs the ring of integers of Ks. We first show that the Rs-module of Rs-differentials on R is isomorphic to the tensor product of the completed separable of the module of R-differentials on k with the guotient of Ks by Rs. We then show that the first Galois cohomology group of Rs is isomorphic to the direct sum of a k-vector space (whose nature is specified in the statement of the last theorem) with the quotient of a radicial closure of K by a radicial closure of R.
Cette thèse présente trois résultats principaux, tous en caractéristique non nulle.
Dans la première partie, on considère un anneau R de caractéristique non nulle noethérien, normal, intègre, de corps des fractions K. I désigne alors un idéal propre de R, Ka une clôture algébrique de K, et G le groupe de Galois de l'extension Ka/K. On considère Ra le complété pour la topologie I-adique de 1'anneau des éléments de Ka entiers sur R. On montre que l'ensemble des points fixes de Ra sous l'action de G est le complété d'une clôture radicielle de R contenue dans Ra.
Dans les deuxième et troisième parties on considère un corps local K de caractéristique non nulle, d'anneau des entiers R et de corps résiduel parfait k. On appelle Ks une clôture séparable de K, Rs l'anneau des entiers de Ks. On montre d'abord que le Rs-module des Rs-différentielles sur R est isomorphe au produit tensoriel du séparé complété du module des R-différentielles sur k avec le guotient de Ks par Rs. On montre ensuite que le premier groupe de cohomologie galoisienne de Rs est isomorphe à la somme directe d'un k-espace vectoriel (dont la nature est précisée dans l'énoncé du dernier théorème) avec le quotient d'une clôture radicielle de K par une clôture radicielle de R.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)