Variations of Hodge structures : local and global Arakelov-type inequalities
Variations de structure de Hodge : inégalités d'Arakelov locales et globales
Résumé
This thesis aims at studying from a differential geometric point of view variations of Hodge structure.
We begin by extending a pinching theorem of Mok’s dealing with curves in Siegel Modular Varities to the non-compact case. We link this phenomenon with the classical Arakelov Inequalities, and prove variants of Mok’s pinching theorems for curves endowed with a variation of Hodge structure. We study higher-dimensionnal analogues of these phenomena.
To do this, we remark that, under mild degeneracies, the base of a variation of Hodge structure is Kahler-hyperbolic in the sense of Gromov. We then prove vanishing theorems for the L2-cohomology of the constant sheaf on the universal covering of the base that underlies a variation of Hodge structure. We also improve a little bit these results, by weakening slightly the Kahler-hyperbolicity assumption. Using this, we prove through an index formula the positivity of certain top-degree cohomolgy classes on the base built with Chern classes of the Hodge bundles and of the base. This positivity is what we call ”Arakelov-type Inequalities”. We provide equality cases for our inequalities corresponding to locally homogenous variations of Hodge structure on hermitian locally symmetric spaces of the non-compact type. We conjecture that there are not any other exemples.
A first attempt to prove this in a particular situation is made, whose failure learns us that our inequalities, cannot be proven by a mere Chern-Weil form computation and, in some sense, are of global nature.
Cette thèse a pour but d'étudier du point de vue de la géometrie différentielle les variations de structure de Hodge. Nous étendons au cas non compact un théorème de pincement de Mok portant sur des courbes algébriques dans les variétés modulaires de Siegel. Nous relions ce phénomène aux classiques inégalités d'Arakelov et prouvons des variantes du résultat de Mok pour des courbes munies d'une variation de structure de Hodge. Nous étudions des situations multidimensionnelles analogues.
Nous remarquons que sous de faibles conditions de dégenerescence la base d'une variation de structure de Hodge est Kähler-hyperbolique au sens de Gromov. Nous en déduisons des théorèmes d'annulation pour la cohomologie L2 du faisceau constant sur le revêtement universel de la base sous jacent à une variation de structure de Hodge. Nous améliorons un peu ces théorèmes d'annulation en relaxant légérement la condition de Kähler-hyperbolicité.
De celà s'ensuit, par une formule d'indice, la positivité de certaines classes de cohomologie de degré maximal sur la base que nous fabriquons à l'aide de classes caractéristiques de la base et des fibrés de Hodge. Nous appelons ces inégalités les "Inégalités d'Arakelov"
Nous fournissons des cas d'égalité correspondant à des variations de structure de Hodge localement homogènes sur des quotients compacts de domaines symétriques bornés. Nous conjecturons que ce sont les seuls.
Une première approche est tentée à cette conjecture, qui échoue. Cependant cet échec nous apprend que nos inégalités d'Arakelov ne peuvent être prouvées par un calcul local de formes de Chern-Weil et sont donc des phénomènes de nature globale.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)