Graph decompositions : treelength and pursuit-evasion games
Décomposition de graphes : longueur arborescente et jeux de poursuite
Résumé
Graph decompositions are a powerful tool aimed to divide a graph into several parts, called bags, connected in a tree-like or a path-like fashion, depending on whether we consider a tree-decomposition or a path-decomposition. They can be used to solve some NP-hard problems in linear time, as long as the maximum size of the bags (i.e. the width) is bounded. This has motivated the study of treewidth (minimum width out of all tree-decompositions of a graph) over the past 30 years. Nevertheless, there are still a lot of open questions, such as the computational complexity of treewidth in planar graphs. To answer this question, it could be interesting to study the length of these decompositions. This measure corresponds to the maximum diameter among the bags of a decomposition, and it was shown that there is a relationship between treelength and treewidth in planar graphs.In chapter 2, we study the treelength of several simple classes of planar graphs, such as series-parallel graphs. We give an infinite list of forbidden isometric subgraphs for series-parallel graphs of treelength 2. This list is then used to decide in polynomial time if a series-parallel graph has treelength at most 2 and, in case of a positive answer, to output a decomposition of length at most 2.In chapter 3, we focus on the pathlength, and we give a characterization for trees and cycles. We also study the pathlength of outerplanar graphs for which we design an approximation algorithm with additive ratio 1.Finally, in chapter 4, we study the Hunters and Rabbit game, an algorithmic variant of path-decomposition defined as a pursuit-evasion game. In this game, a group of hunters hunts an invisible rabbit which is forced to move to a neighboring position at every step. We are interested in the minimum number h(G) of hunters needed to catch the rabbit, independently of its moves along a graph G. This game has already been studied for some bipartite graphs (meshes, trees, hypercubes...). However, it remains open questions in a lot of graph classes, notably in trees. A very useful notion for the computation of strategies in pursuit-evasion games is the notion of monotonicity. We define a monotone variant of the Hunters and Rabbit game, for which we prove that the minimum number mh(G) of hunters differs by at most one from the pathwidth. This has important consequences, such as the fact that computing mh(G) is NP-hard. We also characterize mh(G) for several graph classes, such as split graphs, interval graphs, trees, and cographs. For these classes, we study the difference between mh and h and, in particular, we show that it is arbitrarily large in trees.
Les décompositions de graphes sont un outil permettant de représenter un graphe en plusieurs parties, appelées sacs, et structurées comme un arbre ou un chemin suivant si ce sont des décompositions arborescentes ou linéaires. Ces décompositions permettent de résoudre certains problèmes NP-difficiles en temps linéaire, si la taille maximum des sacs (i.e. la « largeur/width ») est bornée. Cela a motivé les travaux de ces 30 dernières années sur la largeur arborescente d'un graphe G (la plus petite largeur des décompositions arborescente de G). Cependant, il reste encore beaucoup de questions ouvertes comme la complexité du calcul de la largeur arborescente des graphes planaires. Pour pouvoir répondre à cette question, il peut être intéressant d'étudier une autre mesure des décompositions, la longueur. Cette mesure correspond au diamètre maximum des sacs d'une décomposition, et il a été prouvé qu'il existe une relation entre la longueur arborescente et la largeur arborescente dans les graphes planaires.Nous nous intéressons donc dans le chapitre 2 à la longueur arborescente de classes de graphes planaires simples, comme les graphes série-parallèles. Nous explicitons une liste infinie de sous-graphes isométriques interdits pour les graphes série-parallèles de longueur arborescente 2. Grâce à cette liste, il est alors possible en temps polynomial de tester si un graphe série-parallèle a une longueur arborescente au plus 2 et, dans le cas d'une réponse positive, de calculer une décomposition arborescente optimale.Nous nous intéressons aussi au cas de la longueur linéaire dans le chapitre 3. Nous nous focalisons sur les classes des arbres et des cycles pour lesquelles nous caractérisons la longueur linéaire. Nous nous intéressons aussi à la longueur linéaire des graphes planaires extérieurs et concevons un algorithme d'approximation de rapport additif 1.Finalement, dans le chapitre 4, nous nous intéressons à une variante algorithmique des décompositions linéaires des graphes, par le biais d'un jeu de poursuite-évasion, le jeu des Chasseurs et du Lapin. Dans ce jeu, un groupe de chasseurs traque un lapin invisible qui est forcé de bouger à chaque étape sur une position voisine. Nous nous intéressons au nombre minimum h(G) de chasseurs qui peuvent attraper le lapin quoi qu'il fasse sur un graphe G. Ce jeu a notamment été étudié dans le cas des graphes bipartis (grilles, arbres, hypercubes...) mais reste ouvert dans beaucoup de classes de graphes et notamment dans les arbres. Une notion très utile pour le calcul de stratégie dans les jeux de poursuite-évasion est la notion de monotonie. Nous définissons une variante monotone du jeu des chasseurs et du lapin, nous permettant entre autres, de prouver que, dans cette variante, le nombre minimum mh(G) de chasseurs diffère d'au plus un de la largeur linéaire du graphe G. Ce résultat a d'importantes conséquences, comme le fait que le calcul de mh(G) est NP-difficile. Nous caractérisons aussi mh(G) pour plusieurs classes de graphes, comme les graphes scindés, les graphes d'intervalles, les arbres et les cographes. Nous étudions la différence entre mh et h dans ces classes de graphes et, en particulier, nous montrons qu'il peut exister une différence arbitrairement grande entre mh et h dans les arbres.
Origine : Version validée par le jury (STAR)