Stability and dispersion analysis of improved time discretization for simply supported prestressed Timoshenko systems. Application to the stiff piano string.

Juliette Chabassier 1 Sébastien Imperiale 2
1 Magique 3D - Advanced 3D Numerical Modeling in Geophysics
LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau], Inria Bordeaux - Sud-Ouest
Résumé : Nous étudions la discrétisation implicite en temps des équations permettant de modéliser les cordes de piano, grâce au modéle de poutre précontrainte de Timoshenko. Ce modéle considére la propagation de deux ondes (de flexion et de cisaillement) à des vitesses très différentes. Nous présentons une nouvelle discrétisation en temps implicite qui permet de réduire la dispersion numérique tout en autorisant un grand pas de temps lors des simulations numériques. Après avoir analysé le système continu et ses deux branches de fréquences propres, associées à des modes propres, le $\theta$-schéma classique est étudié. Nous présentons des preuves nouvelles de stabilité, basées sur une approche énergétique et qui fournissent des estimations uniformes par rapport au pas de temps. Une analyse de dispersion confirme que la valeur $\theta = 1/12$ réduit la dispersion numériques, mais conduit à une condition de stabilité très sévère pour l'application considérée. Nous proposons donc un nouveau schéma de type $\theta$-schéma, qui permet de réduire la dispersion numérique tout en relaxant la restriction sur le pas de temps. % basé sur une $\theta$-approximation différente pour chaque type d'onde présente dans le système. Des preuves de stabilité sont également fournies pour ce nouveau schéma. Les résultats théoriques sont illustrés par des expériences numériques correspondant à la simulation d'une corde de piano réaliste.
Type de document :
Rapport
[Research Report] RR-8088, INRIA. 2012, pp.39
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Contributeur : Juliette Chabassier <>
Soumis le : jeudi 4 octobre 2012 - 16:39:16
Dernière modification le : jeudi 11 janvier 2018 - 01:49:28
Document(s) archivé(s) le : samedi 5 janvier 2013 - 03:59:54

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Juliette Chabassier, Sébastien Imperiale. Stability and dispersion analysis of improved time discretization for simply supported prestressed Timoshenko systems. Application to the stiff piano string.. [Research Report] RR-8088, INRIA. 2012, pp.39. 〈hal-00738233v2〉

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