Modeling and simulation of a grand piano.

Juliette Chabassier 1 Antoine Chaigne 2 Patrick Joly 3
1 Magique 3D - Advanced 3D Numerical Modeling in Geophysics
LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau], Inria Bordeaux - Sud-Ouest
3 POEMS - Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation
Inria Saclay - Ile de France, UMA - Unité de Mathématiques Appliquées, CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique : UMR7231
Résumé : Cette étude porte sur la modélisation et la simulation numérique d'un piano, en domaine temporel, par modéles physiques. Nous souhaitons rendre compte du comportement vibratoire et acoustique du piano, en prenant en compte les éléments principaux qui contribuent á la production du son. La table d'harmonie est modélisée par une équation bidimensionnelle de plaque épaisse, le systéme de Reissner Mindlin, pour un matériau orthotrope et hétérogéne, dont l'amortissement dépend de la fréquence. Grâce aux équations de la vibroacoustique, la table rayonne dans l'air, dans lequel on souhaite calculer le champ acoustique complet autour de la ceinture du piano, que l'on suppose rigide. La table d'harmonie est d'autre part sollicitée par les cordes, á travers le chevalet où elles présentent un léger angle par rapport au plan horizontal. Chaque corde est modélisée par un systéme d'équations monodimensionnelles amorties dans lequel on prend en compte non seulement les ondes transversales excitées par le marteau, mais aussi la raideur á travers les ondes de cisaillement, ainsi que le couplage avec les ondes longitudinales provenant de la prise en compte des non linéarités géométriques. Le marteau est lancé avec une vitesse initiale vers un ch\oe ur de cordes, contre lequel il s'écrase avant d'être repoussé par les cordes. La force d'interaction dépend de fa\c con non linéaire de l'écrasement du marteau. Le modéle complet de piano, que l'on souhaite résoudre numériquement, consiste donc en un systéme couplé d'équations aux dérivées partielles, dont chacune revêt des difficultés de nature différente : la corde est régie par un systéme d'équations non linéaires, la table d'harmonie est soumise á un amortissement dépendant de la fréquence, la propagation acoustique requiert un trés grand nombre d'inconnues ; auxquelles s'ajoute la difficulté inhérente aux couplages. D'une part, la stabilité numérique du schéma discret peut être compromise par la présence d'équations non linéaires et de nombreux couplages. Une méthode efficace pour garantir cette stabilité a priori est de construire un schéma qui conserve, ou dissipe, un équivalent discret de l'énergie physique d'un pas de temps au suivant. Une contribution majeure de ce travail a été de développer des schémas préservant une énergie discréte pour une classe de systémes non linéaires dans laquelle s'inscrit le modéle de corde. D'autre part, afin d'augmenter l'efficacité de la méthode et de réduire le coût des calculs numériques, il est souhaitable de mettre á jour de fa\c con découplée les inconnues liées aux différentes parties du probléme, sur lesquelles la discrétisation en temps est faite de fa\c con différente, afin de s'adapter aux spécificités de chacune. L'introduction de multiplicateurs de Lagrange nous permet de réaliser ce découplage artificiel grâce á des compléments de Schur adaptés. L'utilisation du code de calcul en situation réaliste montre le potentiel d'une telle modélisation d'un piano complet en domaine temporel. Au delá de trés bien reproduire les mesures, il est possible d'étudier l'influence de certains phénoménes physiques (corde raide, non linéaire), de la géométrie ou encore des matériaux utilisés sur le comportement vibratoire général du piano, et sur le son en particulier. L'enrichissement spectral, ainsi que l'apparition des ''partiels fantômes'' et du précurseur non linéaire sont clairement mis en évidence pour les grandes amplitudes de jeu, soulignant l'intérêt de notre approche dans la compréhension du fonctionnement de l'instrument.
Type de document :
Rapport
[Research Report] RR-8181, INRIA. 2012, pp.29
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Contributeur : Juliette Chabassier <>
Soumis le : mardi 12 février 2013 - 13:45:34
Dernière modification le : jeudi 11 janvier 2018 - 06:22:12
Document(s) archivé(s) le : samedi 1 avril 2017 - 22:12:15

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Juliette Chabassier, Antoine Chaigne, Patrick Joly. Modeling and simulation of a grand piano.. [Research Report] RR-8181, INRIA. 2012, pp.29. 〈hal-00768234v3〉

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