Abstract : We investigate efficient numerical methods for the problem of multiple-scattering of obstacles in homogeneous media. This is a first step towards the more general problem in strongly inhomogeneous media. The inhomegeneity for the multiple-scattering problem is caused by the presence of obstacles. For formations composed of a small number of medium-sized obstacles, satisfactory results can be obtained with optimized softwares based on standard discretization technique such as Finite Element Method (FEM). However, constraint by its need for meshing, a FEM loses its robustness, as the number of obstacles increases, or when their size decreases. As an alternative, we work with a Galerkin Integral Equation method, which we call Fourier Series - Single Layer (FS-SL) method, which describes the scattered wave as a superposition of single layer potentials and uses truncation of Fourier series to discretize the continuous problem. We describe in details the systems generated by the method, accompanied by a well-posedness study, for penetrable and impenetrable obstacles, the later involving Dirichlet, Neuman and Impedance boundary conditions. To study the numerical performance of the method, we limit ourselves to the case of disc - shaped obstacles. We first compare the results of our mesh-free method with Montjoie (a FE-based software) to validate the robustness for problems with a large number of small obstacles. We then investigate then efficiency of different solver types in the resolution of the dense linear system generated by FS-SL method. The study is done for Direct Solvers (Mumps, Lapack and Scalapack) and iterative GMRES-type Solvers with various preconditioners. We show that the optimal choice depends on the distance between obstacles, their size and number.
Résumé : Nous nous intéressons aux méthodes numérique pour simuler avec efficacité la diffraction multiple d’une onde acoustique par des obstacles dans un milieu homogène. Ce project constitute un première pas vers un problème plus géneral incluant un milieu fortement héterogène. L’inhomogénéité dans le cas présent se caractérise par la présence des obstacles. Lorsque le milieu contient peu d’obstacles et qu’ils sont de taille moyenne, les méthodes numériques basées sur les techniques de discrétization telles que les élements finis (EF) sont efficaces. En revanche, lorsque le nombre d’obstacles augmente, ou que leur taille diminue, de telles méthodes, de par leur besoin
en maillage, perdent en performance. Comme alternative, nous travaillons sur une méthode de type Galerkin Équation Intégrale, que nous appellons ‘Fourier Series - Single Layer’ (FS-SL). La méthode décrit l’onde diffractée comme une superposition des potentiels de simple couche, et utilise la troncature des Séries de Fourier pour discrétiser le problème continu. Dans ce rapport, nous donnons les systèmes ainsi engendrés par la méthode, accompagnés d’une étude détailléensur leur comportement du type Fredholm, dans le cas d’obstacles pénétrables et impénétrables. Nous proposons ensuite une étude des performances numériques de notre méthode dans le cas d’obstacles circulaires. Nous comparons dans un premier temps notre méthode, qui ne nécessite pas de discrétisation spatiale (maillage), avec une méthode d’élements finis implémenteée dans Montjoie. Nous étudions aussi l’éfficacité de plusieurs types de solveurs, pour la résolution dunsystème linéaire plein généré par la méthode FS-SL. Nous comparons les solveurs directs (Mumps, Lapack et Scalapack) et de type GMRES avec plusieurs préconditionneurs. Nous montrons que le choix optimal de solveur dépend de la distance entre les obstacles, leur taille et leur nombre.
