Modèles logistiques déterministes et stochastiques
Résumé
The logistic model is usually expressed as an ordinary differential equation (ODE). This model is in fact a macroscopic and deterministic representation of a microscopic and stochastic model. We recall the stochastic formulation of this phenomenon in the the form of a birth and death process. We propose also a formulation at an intermediate scale as a stochastic differential equation (EDS). Finally, we propose a moment closure method of the jump model. We study, in particular by using simulations, the relationship existing between these different formulations and their respective characteristics.
Le modèle logistique s’exprime le plus souvent sous forme d’une équation différentielle ordinaire (EDO). Ce modèle est en fait une représentation macroscopiquet et déterministe d’une dynamique microscopique et stochastique. Nous rappelons la formulation stochastique de ce phénomène sous forme de processus de naissance et mort. Nous proposons également une formulation stochastique à une échelle intermédiaire sous forme d’une équation différentielle stochastique (EDS). Nous proposons enfin une méthode de fermeture des moments du modèle de saut. Nous étudions les relations existantes entre ces différentes formulations et leurs caractéristiques respectives, notamment au travers de simulations.